PİSAGOR KİMDİR HAYATI TEOREMİ NEDİR

PISAGOR KIMDIR HAYATI TEOREMI NEDIR  Pisagor (Pythagoras), Yaklaşık olarak MÖ 580 - MÖ 500 tarihleri arasında yaşamış olan, Pisagor teoremiyle(dik üçgen) bilim tarihine geçmiş matematik, cebir, geometri alanında yapmış olduğu çalışmalarla ve katkılarla tanınan Yunan filozofudur. Doğum yeri olan Sisam adasından M.Ö. 529'da Güney İtalya'ya, Crotona'ya göç etti. Crotona bu yörenin zengin liman kentlerinden biriydi. Pisagor burada biraz kişisel çekiciliği, kendinde varolduğunu iddia ettiği kehanet gücü, biraz da etrafında yarattığı gizemci havasıyla zengin ve soylu delikanlılardan üçyüz kadarını bir çatı altında topladı ve okul kurdu. Pisagor öğrencilerini iki bölüme ayırıyordu : Dinleyiciler ve matematikçiler. Okula dinleyicilik ile başlanıyor başarılı olunursa matematikçiliğe geçiliyordu. Antik Çağ'ın en ünlü adlarından biri olan Pythagoras (Pisagor) çok yönlü kişiliği yanında matematikçi sıfatım layıkıyla haketmiştir. Bu Eski Yunan filozofu ve bilim adamının günümüzde dahi geçerli ve tüm zamanlar için de geçerliliğim koruyacağı anlaşılan ünlü teoremi, bu savı doğrulamak için yeterli bir nedendir. "Düzlemde, bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin a-lanları toplamı, hipotenüs üstüne kurulan karenin alanına eşittir." "Pisagor Teoremi" olarak tanınan bu teoremin, Pisagordan önce Çin'li Çu Pei tarafından bilindiği ve kanıtlandığı, Sümerler ve Babiller gibi eski uygarlıklarda kenarları 3,4,5 birim olan üçgenlerin "dik üçgen" olduğunun bilindiğine dair bilgiler mevcutsa da, Pisagor'un farkı, bu teoremi bir matematikçi yaklaşımıyla ve genelleyerek vermiş olmasındadır. İyi yetişmiş ve gençliğinde iyi bir eğitim almış olan Pisagor, çok ve sıkça seyahatler yapmıştır. Babil ve Mısır'da geçirdiği uzun yıllar O' nun bilimine önemli katkılarda bulunmuştur. Özellikle din adamlarından ve rahiplerden çok yararlandığı bilinmektedir. Bu sırada dini eğitim de almıştır.

PISAGOR KIMDIR HAYATI TEOREMI NEDIR  Pisagor (Pythagoras), Yaklaşık olarak MÖ 580 - MÖ 500 tarihleri arasında yaşamış olan, Pisagor teoremiyle(dik üçgen) bilim tarihine geçmiş matematik, cebir, geometri alanında yapmış olduğu çalışmalarla ve katkılarla tanınan Yunan filozofudur. Doğum yeri olan Sisam adasından M.Ö. 529'da Güney İtalya'ya, Crotona'ya göç etti. Crotona bu yörenin zengin liman kentlerinden biriydi. Pisagor burada biraz kişisel çekiciliği, kendinde varolduğunu iddia ettiği kehanet gücü, biraz da etrafında yarattığı gizemci havasıyla zengin ve soylu delikanlılardan üçyüz kadarını bir çatı altında topladı ve okul kurdu. Pisagor öğrencilerini iki bölüme ayırıyordu : Dinleyiciler ve matematikçiler. Okula dinleyicilik ile başlanıyor başarılı olunursa matematikçiliğe geçiliyordu. Antik Çağ'ın en ünlü adlarından biri olan Pythagoras (Pisagor) çok yönlü kişiliği yanında matematikçi sıfatım layıkıyla haketmiştir. Bu Eski Yunan filozofu ve bilim adamının günümüzde dahi geçerli ve tüm zamanlar için de geçerliliğim koruyacağı anlaşılan ünlü teoremi, bu savı doğrulamak için yeterli bir nedendir. "Düzlemde, bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin a-lanları toplamı, hipotenüs üstüne kurulan karenin alanına eşittir." "Pisagor Teoremi" olarak tanınan bu teoremin, Pisagordan önce Çin'li Çu Pei tarafından bilindiği ve kanıtlandığı, Sümerler ve Babiller gibi eski uygarlıklarda kenarları 3,4,5 birim olan üçgenlerin "dik üçgen" olduğunun bilindiğine dair bilgiler mevcutsa da, Pisagor'un farkı, bu teoremi bir matematikçi yaklaşımıyla ve genelleyerek vermiş olmasındadır. İyi yetişmiş ve gençliğinde iyi bir eğitim almış olan Pisagor, çok ve sıkça seyahatler yapmıştır. Babil ve Mısır'da geçirdiği uzun yıllar O' nun bilimine önemli katkılarda bulunmuştur. Özellikle din adamlarından ve rahiplerden çok yararlandığı bilinmektedir. Bu sırada dini eğitim de almıştır. Bir süre Çin'e de gitmiş ve bir kaç yılını da orada geçirmiştir.53 yaşında ülkesine, Sisam adasına geri dönmüştür. Sisam adası bilindiği gibi ülkemize en yakın Ege adalarından biridir Kuşadası' nın karşında. Demek ki Pisagor da bir Egelidir. Edindiği deneyimleri, artık olgun ve yetkin bir insan olarak bir okul kurmak suretiyle, başkalarıyla paylaşmak istemektedir. Tarihte "Pisagor Okulu" olarak bilinen ve tanınan bu okulun kendine özgü konuları ve eğitim biçimi vardı. O kendi anlayışına göre bir eğitim sistemi geliştirmiş bulunuyordu. O'nun mistik anlayışı "sayılar" ile birleşince, evreni sayılarla temsil etmek düşüncesi, sonuçta Pisagorculuk denilen bir anlayışı ortaya çıkarmıştır. Matematik ile ilgili uğraşısı çok yönlüdür. Ünlü teoremi dışında, özellikle sayılara ilişkin çalışmaları, o zamanlar için çok ileri düzeyde sayılabilir. Bazı özel sayı kavramları O'nun zamanında ortaya atılmıştır. Örneğin dost sayılar, heteromek sayılar ; üçgensel, tam-kare sayılar gibi örnekler çoğaltılabilecektir. Tam bölenlerinin toplamı birbirini veren sayılara dost sayılar denir. Örneğin 284 ve 220 sayılan gibi... n(n+1) gibi sayı gruplarına heteromek sayılar, V2 n(n+1) gibi sayılara üçgensel sayılar, n2 ile temsil edilenlere ise tam kare sayılar denilmektedir. O'nun bir de sayı mistisizmi vardır ki, O'na göre "doğada her şeyin karşılığı bir sayı"dır. Bu mistik anlayışı temsil etmektedir. Ancak 2 ve 5 sayılarının onların nezdinde çok ayrıcalıklı bir yeri vardı. Çünkü bunlar mukaddes sayılardır. 7 ve 10 sayılarının da diğerlerinden farklı olan bir ayrıcalığı bulunmaktadır. Bu tür yaklaşımlar, insanların ya da bilginlerin sayılara yaklaşımını ve bakış açısını değiştirmiş ve bir çok araştırmanın yapılmasına olanak sağlanmıştır.Pisagor Okulu'nun temel felsefesinde 1,2,3,...gibi giden tam sayılarla, bütün bir evrenin matematik, fizik, metafizik, ahlak ve her-şeyin, "süreksiz" bir modelini kurabileceği düşüncesi vardır. Bunların, tanrının işi olduğuna inanıyorlardı. Bazen yenilgileri de oluyordu. Örneğin dik kenarları a ve b ve hipotenüsü c ile gösterilen bir dik üçgende Pisagor teoremi ile temsil edildiğine göre, a=1,b=1 olan bir dik üçgende c2 = 2 olması akıllarını karıştırıyordu. Bir yenilgileri de sayıları düzenledikleri zaman ortaya çıkacaktır. Tam sayılan tanıyorlardı ve onları bu şekilde görüldüğü gibi bir sayı doğrusu üzerine dizmeyi düşünmüşlerdi. Bütün rasyonel sayıları (örneğimizde 0 ile 1 arasındaki) sayıları sıraladıktan sonra, sayılarla doğrunun noktalan arasındaki birebir eşleşme konusundaki bulguları onları şaşırtıyor ve doğrunun üzerinde henüz karşılığına sayı konulmamış noktaların bulunduğunu anlıyorlardı. Antik çağ' da henüz İrrasyonel Sayılar tanınmadığı için, buna yanıt bulmakta güçlük çekiyorlardı. Aradan yüzyıllar geçecek ve Reel Sayılar tanımlandıktan sonra ancak bunun yanıtı verilebilecektir. Pisagor Okulu geometri 'ye de ilgi duymuş, sentetik anlamda da olsa bazı önemli buluşlara adlarını yazdırmışlardır. PISAGOR TEOREMI Bir dik açılı üçgende dik kenarların her birinin uzunluklarının karelerinin toplamları, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. c2 = a2 +  b2 bir diğer çalışması ise (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ilişkisini şekilde görüldüğü gibi, geometrik olarak açıklayabiliyorlardı. Onlar, " biri diğerinin iki katımı eşit olan tam kare sayılar" arıyorlardı. Eğer bu sayılar a ve b ise bu iddiaya göre, a2 = 2b eşitliğini sağlamaları gerekirdi. Bu olanaksızdır. Bu olanaksızlık kanıtlanmıştır.Bu da Pisagor okulunun yenilgileri arasında yer almıştır. Bildiğimiz kadarıyla Pisagor, öğretilerini sözle yaymıştır. Onunla ve öğretileriyle ilgili bilgileri öğrencilerinin yazılarından alıyoruz. Fakat Diogenes Laertios'un eserinde belirttiği üzere Pisagor'un da eserleri vardır: "Bazıları Pythagoras'ın bir tane dahi yazılı eser bırakmadığını söylerler, ama bu doğru değildir. Doğa düşünürü Herakleitos neredeyse avaz avaz bağırarak şöyle diyor: "Mnesarkhos oğlu Pythagoras araştırma çalışmalarında bütün insanları aşmıştır ve bu yazılarından seçme yaparak, büyük bilgi ve kurnazlığa dayalı kendi bilgeliğini oluşturmuştur." Böyle söylüyor, çünkü Pythagoras Doğa adlı eserine şu sözle başlıyor: "Soluduğum hava adına, içtiğim su adına, bu eserimle ilgili herhangi bir yergiye katlanamayacağım."Pisagor okulu zamanla bir bilim ve felsefe okulu olmaktan çıkmış dini eğitimi esas alan bir okula dönüşmüştür. Antik çağ henüz din konusunu aşmış değildir. Tek tanrıcılar ile çok tanrıcılar devamlı bir çatışma halindedirler. Pisagor da işte bu çekişmenin kurbanlarından biri olacaktır. Bunun başka örneklerine ileride yine rastlanacaktır. Öğrencileriyle ders yaptığı bir akşam, okul karşıt dincilerce basılacak ve ateşe verilecektir. İçindekiler öldürülecek, Pisagor ise okulundaki yangını söndürmek için oradan oraya koşuştururken alevler arasında kalarak can verecektir. PISAGORUN BILIM VE SANATA KATKILARI Pisagor teoremi ve irrasyonel sayıları buluşu Diatonik skalayı keşfetmişttir ve müziğin matematiksel oranlara indirgenebileceğini savunması Çarpım tablosunu ilk olarak kullanması.  Müzikle tedavi çalışmaları ile tıbba da katkısı olmuştur.

Üçgende Açılar Karma

Üçgende Açılar

Düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle elde edilen geometrik şekle üçgen denir.

Bir üçgenin açıları ve kenarları asıl elemanlarıdır.

Üçgenin Yardımcı Elemanları

1. Kenarortay

Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

Va: a kenarına ait kenarortay

Kenarortayların kesim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir.

2. Yükseklik
Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

Yüksekliklerin kesim noktasına diklik merkezi denir.

3. Açıortay
Üçgenin bir köşesini, bu köşedeki açıyı ortalayacak biçimde karşı kenara birleştiren doğru parçasına açıortay denir.

Açıortayların kesim noktası içteğet çemberin merkezidir.

4. Orta Dikme
Üçgenin kenarının orta noktalarından çizilen dikmenlere orta dikme denir.

Orta dikmelerin kesim noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

Üçgende Açı Özellikleri

1. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.

2. Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.

3. Üçgende iki iç açının ölçüleri toplamı, bu açılara komşu olmayan dış açının ölçüsüne eşittir.

Örnek:
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 4, 5 ve 6 sayılarıyla orantılı ise en büyük iç açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 48 B) 56 C) 60 D) 72 E) 84

Çözüm:

Yanıt D

Bağlantılar

http://www.ekolhoca.com/aciveacisalkavramlar.asp

http://www.mynet.com/video/sinematv/geometri-dogruda-acilar-konu-anlatimi-1061051/

http://www.dailymotion.com/video/xreiiz_1-dogruda-aci-ve-ucgende-acilar_school

Doğruda Açı Resim

                                                                                                

Açılar iki şekilde okunur
                                                 

1) Işınların nokta adları alınarak:

         ABC  açısı veya  CBA  açısı

2) Sadece başlangıç noktası alınarak:

B açısı şeklinde okunur.

Bir açı, bulunduğu bölgeyi üç bölgeye ayırır; (Yukarıdaki şekildeki gibi)

1) Açının Kendisi

2) Açının Dış Bölgesi

3) Açının  İç Bölgesi

Açı ölçüsü DERECEDİR.  Açıların ölçüsünü bulmak için AÇI ÖLÇER veya İLETKİ kullanılır.

 

 

Doğruda Açılar

Doğrular ve Açılar

Düzlemde Üç Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Yukarıdaki düzlemde d1, d2 ve d3 doğrularının ortak noktaları yoktur. Bu doğrular birbirlerini kesmezler. O halde bu üç doğru birbirine paraleldir.

Yukarıdaki düzlemde d1 ve d2 doğruları bir birine paraleldir. Buradaki d3 doğrusu ise paralel doğruların kesenidir.

Paralel veya paralel olmayan iki doğrunun her birini farklı noktalarda kesen üçüncü bir doğruya bu iki doğrunun “keseni” denir.

Yukarıdaki düzlemde verilen d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. Buradaki d3 doğrusu ise bu paralel doğruları dik kesmektedir.

d3 ^ d1, d3 ^ d2 ve d1 // d2 olduğu için d3 doğrusuna ortak dikme denir. Eğer bir kesen paralel iki doğruya dikse bu doğruya “ortak dikme” denir.

Yukarıda verilen düzlemde ise d1, d2 ve d3
doğruları bir noktada kesişir.

d1, d2 ve d3 doğruları gibi aynı bir noktadan
geçen doğrulara “noktadaş doğrular” denir.

Yukarıdaki düzlemde verilen d1, d2 ve d3 doğruları birbirlerini ikişer ikişer kesmektedir.

Örnek Soru

Yukarıdaki düzlemde d1, d2 ve d3 paralel doğruları verilmiştir.
Buna göre, hangi doğru paralel doğruların kesenidir?

Cevap

Paralel veya paralel olmayan iki doğrunun her birini farklı noktalarda kesen üçüncü bir doğruya bu iki doğrunun keseni denir. Bu
düzlemde verilen d4 doğrusu, d1, d2 ve d3 paralel doğrularının her birini farklı bir noktada kestiğinden dolayı bu üç doğrunun kesenidir.
Yanıt D

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde verilen kitaplığın raflarının birbirlerine göre durumları aşağıda verilen düzlem üzerindeki doğrulardan hangisine benzemektedir?

Cevap

Şekilde verilen kitaplığın rafları birbirini kesmediği için ortak noktaları yoktur. O halde bu üç raf birbirine paraleldir. Birbirine paralel üç doğru aşağıda modele uymaktadır.

Örnek Soru

Aşağıdakilerin hangisinde d1, d2 ve d3 doğruları birbirlerini ikişer ikişer kesmektedir?

Cevap

B ve D seçeneklerinde d1 ve d2 doğruları birbirine paralel ve d3 doğrusu bu doğruları tek bir noktada kesmektedir. C seçeneğinde ise üç doğru birbirlerini bir noktadan kesmektedir. A seçeneğindeki d1, d2 ve d3 doğruları birbirlerini ikişer ikişer kesmektedir.
Yanıt A

Örnek Soru

Noktalı kâğıt üzerine çizilen d1, d2 ve d3 doğrularının birbirlerine göre durumları verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevap

Noktalı kâğıt üzerine çizilen d2 ve d3 doğruları birbirine paralel, d1 doğrusu ise bu paralel doğruları dik kesmektedir.

Yöndeş Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu da paralel doğruların kesenidir. Bu doğruların oluşturduğu açılardan aynırenge boyalı olan açılar yöndeş açılardır. Aynı yönde olan açılar
k ile p, n ile s
j ile r, m ile t’dir.
En az birer kenar doğruları aynı veya paralel olan açılara yöndeş açılar denir.

Örnek Soru

Yukarıda verilen d1, d2 ve d3 doğrularından d2 // d3 ve d1 doğrusu da bu doğruların kesenidir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan hangileri yöndeş açılardır?

Cevap

İç Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu da paralel doğruların kesenidir. Bu doğruların oluşturduğu açılardan boyalı olanlar iç açılardır. İç açılar a, b, c ve d’dir. Paralel iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde, bu doğrular arasında ve kesenin her iki tarafında olan açılara iç açılar denir.

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde d1 // d2′dir, şekilde verilen açılardan hangileri iç açılardır?

Cevap

Paralel iki doğruyu (d1 ve d2), üçüncü bir doğru (d3) kestiğinde bu doğrular arasında ve kesenin her iki tarafında olan açılar iç açılardır. d1 ve d2 arasında kalan açılar; a, d ve e’dir. Yani iç açılar a, d ve e’dir.
Yanıt D

Örnek Soru

Aşağıdakilerin hangisindeki boyalı açılar iç açıları göstermektedir?

İç açılar, paralel doğruların arasında kalan
açılar olduğuna göre boyalı açılardan A seçeneğ
indeki açılar iç açılardır.
Yanıt A

İç Ters Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu da paralel doğruların kesenidir. Bu doğruların oluşturduğu açılardan aynı renge boyalı olan açılar iç ters açılardır. İç ters açılar
k ile p
m ile n’dir.
İç ters açılar, iç açılardan kesenin ters tarafındaki komşu olmayan açılardır.

Yukarıdaki şekilde k // m’dir.
Şekildeki iç ters açılar
b ile f
c ile g’dir.

Örnek Soru

Yukarıda verilen d1, d2 ve d3 doğrularından d2 // d3 ve d1 doğrusu da bu doğruların kesenidir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan hangileri iç ters açılardır?

Cevap

Aynı renge boyalı olan açılar iç ters açılardır. Bu açılar
4 ve 5
3 ve 6′dır.
Yanıt B

Dış Açılar

Yukarıdaki şekilde d1 // d2 ve d3 doğrusu da paralel doğruların kesenidir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan boyalı olanlar dış açılardır.
Dış açılar a, b, g ve h’dir. Paralel iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde, bu doğruların arasında, paralel doğruların dışında ve kesenin her iki tarafında olan açılara dış açılar denir.

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde d2 // d3′tür.
şekilde verilen açılardan hangileri dış açılardır?

Cevap

Paralel iki doğruyu (d2 ve d3), üçüncü bir doğru (d1) kestiğinde bu doğrular arasında, paralel doğruların dışında ve kesenin her iki
tarafında olan açılar dış açılardır. d2 ve d3′ün dış kısmında kalan açılar; x ve t’dir. Yani dış açılar x ve t’dir.
Yanıt C

Örnek Soru

Aşağıdakilerden hangisindeki boyalı açılar dış açıları göstermektedir?

Cevap

Dış açılar paralel doğruların dış kısmında kalan açılar olduğuna göre, B seçeneğindeki boyalı açılar dış açılardır.
Yanıt B

Dış Ters Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu bu paralel doğruların kesenidir. Bu doğruların belirttiği açıları inceleyelim. Bu doğruların oluşturduğu açılardan aynı renge boyalı olan açılar dış ters açılardır. Dış ters açılar
s ile t
p ile r’dir.
Dış ters açılar, dış açılardan kesenin ters tarafındaki komşu olmayan açılardır.

Yukarıdaki şekilde k // m’dir.
şekildeki dış ters açılar
x ile a
t ile d’dir

Örnek Soru

Yukarıda verilen d1, d2 ve d3 doğrularından d2 // d3 ve d1 doğrusu da bu doğruların kesenidir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan hangileri dış ters açılardır?

Cevap

Aynı renge boyalı olan açılar dış ters açılardır. Bu açılar
g ile a
h ile b’dir.
Yanıt A

Ters Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu da bu doğruların kesenidir. Bu doğruların belirttiği açıları inceleyelim. Bu doğruların
oluşturduğu açılardan aynı renge boyalı olan açılar ters açılardır. Ters açılar
m ile n
k ile j
s ile t
p ile r’dir.
Kesişen doğrular arasında oluşan ve zıt yönlere bakan açılar ters açılardır.

Yukarıdaki şekilde m // n’dir. Şekildeki ters açılar
a ile g, b ile h
c ile e, d ile f’dir.

Örnek Soru

Yukarıda verilen d1, d2 ve d3 doğrularından d2 // d3 ve d1 doğrusu da bu doğruların kesenidir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan hangileri ters açılardır?

Cevap

Eş Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu da paralel doğruların kesenidir. Bu üç doğrunun oluşturduğu açıları inceleyelim.

Yöndeş Açılar

k ile p, n ile s
j ile r, m ile t
Yöndeş açıların ölçüleri eşittir. Bu yüzden
bu açılar eş açılardır.
k = p, m = t
n = s, j = r

İç Ters Açılar

m ile r, n ile p
İç ters açıların ölçüleri eşittir. Bu yüzden bu
açılar eş açılardır.
m = r, n = p’dir

Dış Ters Açılar

j ile t, k ile s
D›fl ters aç›lar›n ölçüleri eflittir. Bu yüzden
bu aç›lar efl aç›lard›r.
j = t, k = s’dir.

Ters Açılar

j ile m, r ile t
k ile n, p ile s
Ters açıların ölçüleri eşittir. Bu yüzden bu
açılar eş açılardır.
j = m, r = t
k = n, p = s’dir.

Yukarıdaki şekilde d // k’dir.
şekildeki eş açıları inceleyelim.
a ile g, c ile e (ters açılar)
a = g, c = e’dir.
a ile c, g ile e (yöndeş açılar)
a = c, g = e’dir.
O halde a = c = g = e olur.
Yani a, c, g ve e açıları eş açılardır.
Aynı işlemler b, d, f, h açıları için de geçerli olduğundan b, d, h ve f açıları da eş açılardır.

 

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde d2 // d3′tür.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan aşağıdaki hangi öğrencinin söylediği açılar eş değildir?

Cevap

1 ve 3 ters açılar olduğundan eş açılardır.
4 ve 7 yöndeş açılar olduğundan eş açılardır.
2 ve 7 dış ters açılar olduğundan eş açılardır.
8 ve 5 komşu açılar olduğundan eş açılar değildir.
Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıda verilen doğrulardan [BA ile [FE ve [BD ile [FG paraleldir.
Buna göre, aşağıda verilen açılardan hangileri eş açılardır?

Cevap

Bütünler Açılar

Yukarıdaki şekilde d2 // d3 ve d1 doğrusu da
Bu doğruların kesenidir. Ölçüleri toplamı 180° olan veya birbirlerini 180°'ye tamamlayan açılara bütünler açılardenir.
Bütünler açılar;
a ile b b ile c
c ile d a ile d
e ile f e ile h
h ile g f ile g'dir

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde m // n'dir.
Şekilde hangi renge boyanan açılar bütünler açılardır?

Bütünler açılar birbirlerini 180°'ye tamamlayan açılar olduğuna göre, şekildeki yeşil renkli açılar bütünler açılardır.
Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde k // m'dir.

Noktalı çizgilerin yanlarında yazan açılardan, bütünler olanların bulunduğu noktalı çizgiler çizilirse hangi harf oluşur?

Cevap

Verilen açılardan a ve e, d ve e, b ve g, g ve c bütünler açılardır. b ve d bütünler açılar değil, iç ters açılardır.

Bütünler açıların bulunduğu noktalı çizgileri çizdiğimizde E harfi oluşur.
Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde d2 // d3'tür.
Buna göre, aşağıdakilerin hangisinde verilen açı çiftleri bütünler açılardır?

Cevap

Ölçüleri toplamı 180° olan veya birbirlerini 180°'ye tamamlayan açılar bütünler açılardır.
Buna göre, aşağıdaki açılar bütünler

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde d // e'dir. şekildeki bütünler açılardan ortak açı ortada olacak şekilde

şeklindeki gösterim "m ile k, k ile p bütünler açılardır." anlamına geldiğine göre,
aşağıdaki gösterimlerden hangisi doğrudur?

Cevap

Örnek Soru

[BA ile [FE ve [BD ile [FG paraleldir.
Yukarıdaki şekle göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevap

Yukarıda verilen şekilde ,
– Mor ve pembe renkli açılar iç ters açı-
lardır.
– Pembe ve turuncu renkli açılar iç ters
açılardır.
– Mavi ve pembe renkli açılar bütünler
açılardır.
– Yeşil ve pembe renkli açılar bütünler
açılardır.
Yanıt C

Örnek Soru

m ve n açıları d1, d2 ve d3 doğrularının kesişmesiyle oluşan açılardır. Öğretmen öğrencilerinden bu açılarla ilgili yorum yapmalarını istemiştir.
Buna göre, hangi öğrencinin yorumu doğrudur?

Cevap

Verilen m ve n açılarının iç ters, yöndeş ve dış ters açılar olabilmesi için paralel olan doğrulardan oluşan açılar olması gerekmektedir. m ve n açıları ters açılardır.
Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıdaki şekle göre, aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?

Cevap

Örnek Soru

Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açı çiftlerinden hangisi eş açılara örnek gösterilemez?

1 ile 3 ters açılar, 4 ile 6 iç ters açılar, 2 ile 8 dış ters açılar olduğundan bu açı çiftleri eş
açılardır. 5 ile 6 bütünler açılardır fakat eş değillerdir.
Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıda bir semte ait sokaklar verilmiştir. 28. sokak ve 39. sokak birbirine paraleldir. 42. sokak ise bu sokakların her ikisini de
kesmektedir. Bu sokaklara ait köşe başları şekildeki gibi verilmiştir.
Verilenlerle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

E köşesi ve B köşesi aynı yöne baktıklarından yöndeştir.
F köşesi ve C köşesi paralel sokaklar arasında
ve ters yönlerde kaldıklarından iç terstir.
G köşesi ve B köşesi paralel sokakların dış
kısmında ve ters yönlerde kaldıklarından
dış terstir.
H köşesi ile D köşesi değil, H köşesi ile A
köşesi dış terstir.
Yanıt D

Kare ve Dikdörtgenin Karşılıklı Kenar Çiftleriyle Oluşturdukları Açılar

Örnek Soru

Yukarıdaki ABCD dikdörtgenindeki hangi açılar iç ters açılardır?


Örnek Soru

Yukarıda ARZU dikdörtgeni ve ÖZGE karesinin açıları verilmiştir.
K = {ARZU dikdörtgenindeki iç ters açılar}
M = {ÖZGE karesindeki iç ters açılar}
Buna göre, K  M aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

ARZU dikdörtgenindeki iç ters açılar şunlardır:
a ve g, f ve b, h ve c, e ve d
O halde K = {a ve g, f ve b, h ve c, e ve d} olur.

ÖZGE karesindeki iç ters açılar şunlardır:
a ve g, b ve d, h ve c, e ve f
O halde M = {a ve g, b ve d, h ve c, e ve f} olur.
K   M = {a ve g, h ve c}
Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıdaki YGTZ dikdörtgeninde [YT] ve
[GZ] köşegenlerdir.
I. Z^YT ile Y^TG iç ters açılardır.
II. Y^RG ile G^RT bütünler açılardır.
III. Y^RZ ile T^RG bütünler açılardır.
IV. Z^GT ile R^TZ iç ters açılardır.
V. Y^ZG ile T^GR iç ters açılardır.
Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

Cevap

 Bir Doğruya Dikme İnşa Etme

Yukarıdaki d1 doğrusuna K noktasından bir dikme inşa edelim.

Doğrunun üzerine koyduğumuz açı ölçerin
tam ortasındaki işaretli kısmı K noktasının
üzerine koyalım. Açı ölçerin 90°’yi gösteren
yerinden bir A noktası alalım. Cetvel yardı-
mıyla A noktasını K noktasına birleştirdiğimizde
d1 doğrusuna bir dikme inşa etmiş
oluruz. Bunu  şeklinde gösteririz.

A noktasının d1 doğrusuna olan uzaklığı, bu
nokta ile bu noktadan d1 doğrusuna inilen
dikmenin ayağı arasındaki uzaklığa eşittir.
Dışındaki bir noktayı d1 doğrusunun noktaları
na birleştiren doğru parçalarından en kısa
olanı bu noktadan doğruya inilen dikmedir.

Yukarıda verilen kareli kâğıt üzerindeki k
doğrusuna M noktasından bir dikme inşa
edilmiştir.

Örnek Soru

Yukarıda verilen K noktasının t doğrusuna olan en kısa uzaklığı aşağıdaki doğru parçalarından hangisinin uzunluğuna eşittir?

Cevap

Verilen bir noktanın herhangi bir doğruya
olan en kısa uzaklığı, bu noktadan doğruya
inilen dikmenin uzunluğuna eşittir.
Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıdaki Z noktasının t doğrusuna olan en kısa uzaklığı aşağıdaki doğru parçalarından hangisinin uzunluğuna eşittir?

Cevap

Doğrunun dışındaki bir noktanın o doğruya olan en kısa uzaklığı, verilen noktadan doğruya çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir.
Z noktasından t doğrusuna çizilen dikme [ZU] olduğundan en kısa uzaklık [ZU]‘nın uzunluğuna eşittir.
Yanıt B

Örnek Soru

Kareli kâğıda çizilen d doğrusuna, üzerinde bulunan M noktasından bir dikme inşa edilecektir.
Buna göre, bu dikme aşağıdakilerden hangisinde doğru gösterilmiştir?

Cevap

Verilen d doğrusunun üzerine açı ölçer koyup açı ölçerin işaretli kısmı M noktasına yerleştirelim. Açı ölçerin 90°’yi gösteren kısmından bir nokta alınarak, bu nokta cetvel yardımıyla M noktasına birleştirilirse d doğrusuna bir dikme inşa edilmiş olur.

Örnek Soru

Kareli kâğıttaki t doğrusunun üzerinde bulunan K noktasından t doğrusuna bir dikme inşa edilecektir.
Buna göre, bu dikme aşağıdakilerin hangisinde doğru gösterilmiştir?

Cevap

Verilen t doğrusunun üzerine açı ölçer koyduğumuz zaman açı ölçerin işaretli kısmını K noktasına yerleştirdiğimizde 90°’yi gösteren kısmından aldığımız bir noktayı cetvel yardımıyla K noktasına birleştirdiğimizde t doğrusuna bir dikme inşa etmiş oluruz.

Örnek Soru

Aşağıdakilerin hangisinde d doğrusuna k noktasından inşa edilen doğru, bir doğruya çizilen dikmeye örnek gösterilemez?

Cevap

A, B ve C seçeneğinde bir doğruya çizilen dikmeye örnek vardır. D seçeneğindeki doğruya çizilen dikme aşağıdaki gibi olmalıdır.

Bir Doğru Parçasına Orta Dikme İnşa Etme

AB doğru parçasının orta dikmesini inşa edelim.

Şekildeki doğru parçasının orta dikmesini bulabilmek için verilen doğru parçasının tam ortasını cetvel ile ölçüp işaretleyelim.Gönye yardımı ile bu noktaya bir dikme inşa edelim.

Orta dikmenin üzerinden alınan noktaların doğru parçasının uçlarına olan uzaklıkları birbirine eşittir.

[CA] = [CB]
[DA] = [DB]

Örnek Soru

Öğretmen, tahtaya çizdiği şekil ile ilgili öğrencilerinden yorum yapmalarını istemiştir.

Buna göre, yapılan öğrenci yorumlarından hangisi ya da hangileri doğrudur?

Cevap
Verilen şekilde LN doğru parçasına dışındaki bir K noktasından dikme çizilmiştir. Bu dikme doğru parçasının tam ortasında olduğu için KM doğru parçası orta dikmedir. LN doğru parçasına dışındaki herhangi bir noktadan çizilen doğru parçalarından en kısa olanı doğruya dik olandır. Yani |KL| > |KM| ve |KN| > |KM|’dir. Orta dikmenin üzerinden alınan noktaların doğru parçasının uçlarına olan uzaklıkları birbirine eşittir. O halde |KL| = |KN|’dir.
Yanıt D

Örnek Soru

Kareli kağıttaki KL doğru parçasının orta dikmesi aşağıdakilerin hangisinde doğru gösterilmiştir?

Cevap

Verilen KL doğru parçasının orta noktasına açı ölçerinin işaretli kısmını yerleştirerek 90°’yi gösteren kısımdan cetvel yardımıyla
çizdiğimiz doğru parçası orta dikmedir.

Örnek Soru

Aşağıdakilerin hangisinde AB doğru parçasının orta dikmesi doğru gösterilmiştir?

A seçeneğinde verilen AB doğru parçasına çizilen dikme AB doğru parçasını iki eşit parçaya ayırmadığı için A yanlıştır. B seçeneğinde AB doğru parçasının tam orta noktasına çizilen doğru parçası dik olmadığı için B yanlıştır. C seçeneğinde AB doğru parçasına çizilen dikme AB doğru parçasını iki eşit parçaya ayırmadığı için C yanlıştır D seçeneğinde ise AB doğru parçasının tam ortasından inilen dikme AB doğru parçasının orta dikmesidir.
Yanıt D

Örnek Soru

Kareli kağıttaki KL doğru parçasının orta dikmesi aşağıdakilerin hangisinde doğru gösterilmiştir

Cevap

Verilen KL doğru parçasının orta noktasına açı ölçerinin işaretli kısmını yerleştirerek 90°’yi gösteren kısımdan cetvel yardımıyla çizdiğimiz doğru parçası orta dikmedir.

Örnek Soru

Aşağıdakilerin hangisinde AB doğru parçasının orta dikmesi doğru gösterilmiştir?

Çözüm

A seçeneğinde verilen AB doğru parçasına çizilen dikme AB doğru parçasını iki eşit parçaya ayırmadığı için A yanlıştır. B seçeneğinde AB doğru parçasının tam orta noktasına çizilen doğru parçası dik olmadığı için B yanlıştır. C seçeneğinde AB doğru parçasına çizilen dikme AB doğru parçasını iki eşit parçaya ayırmadığı için C yanlıştır D seçeneğinde ise AB doğru parçasının tam ortasından inilen dikme AB doğru parçasının orta dikmesidir.
Yanıt D

Örnek Soru

Yukarıdaki eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtma I, II, III ve IV nolu çıtaların şekildeki gibi birleştirilmesi ile oluşturulmuştur.
Aşağıdakilerden hangisindeki çıtalar birbirbirinin orta dikmesidir?

Eşkenar dörtgensel bölge şeklindeki uçurtmada I ve III nolu çıtalar birbirinin orta dikmesidir.

Örnek Soru

Kare şeklindeki bir kağıt, köşegeni boyunca katlandıktan sonra şekildeki gibi açılıyor. Oluşan katlama çizgisinin orta dikmesinin elde edilebilmesi için kâğıt, ikinci defa aşağıdakilerden hangisindeki gibi katlanmalıdır?

Bir Doğruya Paralel Doğru İnşa Etme

Yukarıdaki şekilde K noktasından geçen bazı doğruları çizelim.

K noktasından geçecek şekilde çizilen doğrulardan d1 doğrusu ile ortak noktası olmayan veya bir başka ifade ile d1 doğrusu ile kesişmeyen bir doğru, d1 doğrusuna paraleldir. K noktasından çizilen doğrulardan e doğrusu d1 doğrusu ile kesişmemektedir. O halde e doğrusu d1 doğrusuna paraleldir. e // d1 şeklinde gösterilir. Bir doğruya dışındaki herhangi bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir. Paralel iki doğrudan birinin üzerinden alınan her bir noktanın, diğer doğru üzerindeki noktalara olan dik uzaklıkları eşittir. Bundan dolayı paralel doğrulara “eş uzaklıklı doğrular” da denir.

Örnek Soru

Aşağıdakilerin hangisinde M noktasından geçen ve d doğrusuna paralel olan bir doğru çizilmiştir?

Cevap

A seçeneğinde M noktasından çizilen doğrunun üzerinden alınan her noktanın d doğrusu üzerindeki noktalara olan uzaklıkları
farklıdır. B seçeneğinde M noktasından çizilen doğru paralel değil, diktir. D seçeneğinde M noktasından çizilen doğru d doğrusu ile kesişmektedir. C seçeneğinde M noktasından çizilen doğru üzerinde alınan her bir noktanın diğer doğru üzerindeki noktalara olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.
Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde b doğrusu ile c doğrusu birbirine paraleldir.
Şekilde verilenlere göre, KL doğru parçasının uzunluğu kaç cm’dir?

Cevap

Paralel iki doğrudan birinin üzerinden alınan her bir noktanın, diğer doğru üzerindeki noktalara olan dik uzaklıkları eşittir.
O halde KL doğru parçasının uzunluğu 8 cm olur.
Yanıt C

Örnek Soru

Öğretmenin tahtaya çizdiği şekilde p doğrusu ile r doğrusu birbirine paraleldir. Bu şekil ile ilgili bazı öğrencilerin yorumu aşağıdaki gibidir.

Buna göre, yapılan öğrenci yorumları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Paralel iki doğrudan birinin üzerinden alınan her bir noktanın, diğer doğru üzerindeki noktalara olan dik uzaklıkları eşittir.
O halde |CD| = |EF| = 4 cm’dir cevap A dır .